Чему равно ln. Что такое логарифм

Содержание

Разбираемся с натуральным логарифмом

Чему равно ln. Что такое логарифм

Мы уже разобрались с экспоненциальной функцией в посвящённой ей статье, и нашей следующей целью становится натуральный логарифм.

В учебниках математики определение натурального логарифма такое, что ничего “натурального”, естественного в нём нет: он определяется как действие, обратное функции ex, странной уже самой по себе.

Так что вот вам новое, упрощённое объяснение: Натуральный логарифм — это время, необходимое, чтобы вырасти до определённого уровня.

Представьте, что вы сделали инвестицию мишками Гамми (а кто так не делает?) с непрерывной доходностью 100% годовых.

Если вы преследуете цель достичь десятикратного роста вклада, при условии “сложных процентов”, вам пришлось бы ждать всего-то ln(10) = 2.3 года.

Не можете понять, почему необходимо только пару лет, чтобы достичь 10х роста? Не понимаете, почему последовательность не 1, 2, 4, 8? Почитайте про число e.

Число e и натуральный логарифм — братья-близнецы:

  • ex — уровень, достигнутый при непрерывном росте за определённый промежуток времени.
  • натуральный логарифм (ln) — промежуток времени, необходимый для роста до определённого уровня.

Совсем неплохо, правда? Пока математики подбирают слова, чтобы дать вам длинное путанное определение, давайте поближе посмотрим на это простое и ясное.

Число e означает рост

Число e означает непрерывный рост. Как мы видели в прошлом примере, ex позволяет нам увязать процент и время: 3 года при росте 100% есть то же самое, что и 1 год при 300%, при условии “сложных процентов”.

Можно подставлять любые значения процента и времени (50% на протяжении 4 лет), но лучше задать процент как 100% для удобства (получается 100% на протяжении 2 лет). За счёт перехода к 100% мы можем сфокусироваться исключительно на компоненте времени:

ex = eпроцент * время = e1.0 * время = eвремя

Очевидно, что ex означает:

  • насколько вырастет мой вклад через x единиц времени (при условии 100%-го непрерывного роста).
  • например, через 3 промежутка времени я получу в e3 = 20.08 раз больше “штуковин”.

ex — это масштабирующий коэффициент, показывающий, до какого уровня мы вырастем за x отрезков времени.

Натуральный логарифм означает время

Натуральный логарифм — это инверсия числа e, такой причудливый термин для обозначения противоположности. Кстати, о причудах; по латыни он называется logarithmus naturali, отсюда и появилась аббревиатура ln.

И что эта инверсия или противоположность означает?

  • ex позволяет нам подставить время и получить рост.
  • ln(x) позволяет нам взять рост или доход и узнать время, необходимое для его получения.

Например:

  • e3 равняется 20.08. Через три отрезка времени у нас будет в 20.08 раз больше того, с чего мы начали.
  • ln(20.08) будет примерно 3. Если вас интересует рост в 20.08 раз, вам понадобится 3 промежутка времени (опять же, при условии стопроцентного непрерывного роста).

Всё ещё читаете? Натуральный логарифм показывает время, нужное, чтобы достичь желаемого уровня.

Этот нестандартный логарифмический счёт

Вы проходили логарифмы — это странные существа. Как им удалось превратить умножение в сложение? А деление в вычитание? Давайте посмотрим.

Чему равняется ln(1)? Интуитивно понятно, что вопрос стоит так: сколько нужно ждать, чтобы получить в 1 раз больше того, что у меня есть?

Ноль. Нуль. Нисколько. У вас уже это есть единожды. Не требуется нисколько времени, чтобы от уровня 1 дорости до уровня 1.

Хорошо, что насчёт дробного значения? Через сколько у нас останется 1/2 от имеющегося количества? Мы знаем, что при стопроцентном непрерывном росте ln(2) означает время, необходимое для удвоения. Если мы обратим время вспять (т.е. подождём отрицательное количество времени), то получим половину от того, что имеем.

  • ln(1/2) = —ln(2) = —0.693

Логично, правда? Если мы вернёмся назад (время вспять) на 0.693 секунды, то обнаружим половину имеющегося количества. Вообще можно переворачивать дробь и брать отрицательное значение: ln(1/3) = —ln(3) = —1.09. Это означает, что, если мы вернёмся в прошлое на 1.09 отрезков времени, то обнаружим только треть от нынешнего числа.

Ладно, а как насчёт логарифма отрицательного числа? Сколько времени нужно, чтобы “вырастить” колонию бактерий от 1 до —3?

Это невозможно! Нельзя получить отрицательное число бактерий, не так ли? Вы можете получить максимум (эээ… минимум) нуль, но вам никак не получить отрицательное число этих маленьких тварей. В отрицательном числе бактерий просто нет смысла.

  • ln(отрицательное число) = неопределено

“Неопределено” означает, что нет такого промежутка времени, который надо было бы прождать, чтобы получить отрицательное значение.

Логарифмическое умножение — просто умора

Сколько времени займёт четырёхкратный рост? Конечно, можно просто взять ln(4). Но это слишком просто, мы пойдём другим путём.

Можно представить четырёхкратный рост как удвоение (требующее ln(2) единиц времени) и затем снова удвоение (требующее ещё ln(2) единиц времени):

  • Время на 4х рост = ln(4) = Время на удвоится и затем ещё раз удвоится = ln(2) + ln(2)

Интересно. Любой показатель роста, скажем, 20, можно рассматривать как удвоение сразу после 10-кратного увеличения. Или роста в 4 раза, и затем в 5 раз. Либо же утроение и затем увеличение в 6.666 раз. Видите закономерность?

Логарифм от A, умноженного на B, есть log(A) + log(B). Это отношение сразу обретает смысл, если оперировать в терминах роста.

Если вас интересует 30-кратный рост, вы можете подождать ln(30) за один присест, либо же подождать ln(3) Для утроения, и затем ещё ln(10) для удесятирения. Конечный результат тот же самый, так что конечно время должно оставаться постоянным (и остаётся).

Что на счёт деления? В частности, ln(5/3) означает: сколько времени понадобится для того, чтобы вырасти в 5 раз, и затем получить 1/3 от этого?

Отлично, рост в 5 раз есть ln(5). Рост в 1/3 раза займёт -ln(3) единиц времени. Итак,

Сие означает: дайте вырасти в 5 раз, и затем “вернитесь во времени” к той отметке, где останется всего треть от того количества, так что у вас получится 5/3 рост. В общем получается

Я надеюсь, что странная арифметика логарифмов начинает обретать для вас смысл: умножение показателей роста становится сложением единиц времени роста, а деление превращается в вычитание единиц времени. Не надо запоминать правила, попробуйте осознать их.

Использование натурального логарифма при произвольном росте

– Ну конечно, – скажете вы, – это всё хорошо, если рост 100%-ный, а что в случае 5%, которые я получаю?”

Нет проблем. “Время”, которое мы рассчитываем с помощью ln(), на самом деле является комбинацией процентной ставки и времени, тот самый Х из уравнения ex. Мы всего лишь решили задать процент как 100% для простоты, но мы вольны использовать любые числа.

Допустим, мы хотим достичь 30-кратного роста: берём ln(30) и получаем 3.4 Это означает:

Очевидно, это уравнение означает “100%-ная доходность на протяжении 3.4 лет даёт рост в 30 раз”. Мы можем записать это уравнение в таком виде:

  • ex = eставка*время
  • e100% * 3.4 года = 30

Мы можем менять значения “ставки” и “времени”, лишь бы ставка * время оставалось 3.4. Например, если нас интересует 30-кратный рост – сколько нам придётся ждать при процентной ставке 5%?

  • ln(30) = 3.4
  • ставка * время = 3.4
  • 0.05 * время = 3.4
  • время = 3.4 / 0.05 = 68 лет

Я рассуждаю так: “ln(30) = 3.4, значит, при 100%-ном росте это займёт 3.4 года. Если я удвою скорость роста, необходимое время уменьшится вдвое”.

  • 100% за 3.4 года = 1.0 * 3.4 = 3.4
  • 200% за 1.7 года = 2.0 * 1.7 = 3.4 [200%-ный рост означает уменьшение времени вдвое]
  • 50% за 6.8 года = 0.5 * 6.8 = 3.4 [50%-ный рост означает, что понадобится в 2 раза больше времени]
  • 5% за 68 года = .05 * 68 = 3.4 [5%-ный рост означает, что понадобится в 20 раз больше времени].

Здорово, правда? Натуральный логарифм может использоваться с любыми значениями процентной ставки и времени, поскольку их произведение остаётся постоянным. Можете перемещать значения переменных сколько душе угодно.

Отпадный пример: Правило семидесяти двух

Правило семидесяти двух — математический приём, позволяющий оценить, сколько времени понадобится, чтобы ваши деньги удвоились. Сейчас мы его выведем (да!), и более того, мы попробуем уяснить его суть.

Сколько времени понадобится, чтобы удвоить ваши деньги при 100% ставке, нарастающей ежегодно?

Оп-па.

Мы использовали натуральный логарифм для случая с непрерывным ростом, а теперь ты ведёшь речь о ежегодном начислении? Не станет ли это формула непригодной для такого случая? Да, станет, однако для реальных процентных ставок вроде 5%, 6% или даже 15%, разница между ежегодным начислением процентов и непрерывным ростом будет невелика. Так что грубая оценка работает, мм, грубо, так что мы сделаем вид, что у нас полностью непрерывное начисление.

Теперь вопрос прост: Как быстро можно удвоиться при 100%-ном росте? ln(2) = 0.693. Нужно 0.693 единиц времени (лет — в нашем случае), чтобы удвоить нашу сумму с непрерывным ростом 100%.

Так, а что если процентная ставка — не 100%, а скажем, 5% или 10%?

Легко! Поскольку ставка * время = 0.693, мы удвоим сумму:

  • ставка * время = 0.693
  • время = 0.693 / ставка

Получается, если рост 10%-ный, это займёт 0.693 / 0.10 = 6.93 лет на удвоение.

Чтобы упростить вычисления, давайте домножим обе части на 100, тогда можно будет говорить “10”, а не “0.10”:

  • время на удвоение = 69.3 / ставка, где ставка выражена в процентах.

Теперь черёд удваиваться при ставке 5%, 69.3 / 5 = 13.86 лет. Однако 69.3 – не самое удобное делимое. Давайте выберем близкое число, 72, которое удобно делить на 2, 3, 4, 6, 8 и другие числа.

  • время на удвоение = 72 / ставка

что и является правилом семидесяти двух. Всё шито-крыто.

Если вам нужно найти время для утроения, можете использовать ln(3) ~ 109.8 и получить

  • время на утроение = 110 / ставка

Что является ещё одним полезным правилом. “Правило 72” применимо росту по процентным ставкам, росту населения, культур бактерий, и всего, что растёт экспоненциально.

Что дальше?

Надеюсь, натуральный логарифм теперь приобрёл для вас смысл — он показывает время, необходимое для роста любого числа при экспоненциальном росте. Я думаю, натуральным он называется потому, что e — универсальная мера роста, так что ln можно считать универсальным способом определения, сколько времени нужно для роста.

Каждый раз, когда вы видите ln(x), вспоминайте “время, нужное, чтобы вырасти в Х раз”. В предстоящей статье я опишу e и ln в связке, так что свежий аромат математики заполнит воздух.

Дополнение: Натуральный логарифм от e

Быстрая викторина: сколько будет ln(e)?

  • математический робот скажет: поскольку они определены как инверсия одна другой, очевидно, что ln(e) = 1.
  • понимающий человек: ln(e) это число времени, чтобы вырасти в “е” раз (около 2.718). Однако число e само по себе является мерой роста в 1 раз, так что ln(e) = 1.

Мыслите ясно.

Перевод статьи “Demystifying the Natural Logarithm (ln)”

Источник: https://zero2hero.org/article/math/7-razbiraemsya-s-n

Логарифм. Как вычислить логарифм?

Чему равно ln. Что такое логарифм

Объясним проще. Например, \(\log_{2}{8}\) равен степени, в которую надо возвести \(2\), чтоб получить \(8\). Отсюда понятно, что \(\log_{2}{8}=3\).

Примеры:\(\log_{5}{25}=2\)т.к. \(5{2}=25\)
\(\log_{3}{81}=4\)т.к. \(3{4}=81\)
\(\log_{2}\)\(\frac{1}{32}\)\(=-5\)т.к. \(2{-5}=\)\(\frac{1}{32}\)

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание – подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Чтобы вычислить логарифм – нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

Например, вычислите логарифм:  а) \(\log_{4}{16}\)     б) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)     в) \(\log_{\sqrt{5}}{1}\)     г) \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\)      д) \(\log_{3}{\sqrt{3}}\)

а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому: 

\(\log_{4}{16}=2\)

б) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\frac{1}{3}\)? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).

\(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=-1\)

в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

\(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)

г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

\(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=1\)

д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt{3}\)? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень – это степень \(\frac{1}{2}\).

\(\log_{3}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{1}{2}\)

Пример: Вычислить логарифм \(\log_{4\sqrt{2}}{8}\)

Решение:

\(\log_{4\sqrt{2}}{8}=x\)Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма: \(\log_{a}{c}=b\)       \(\Leftrightarrow\)       \(a{b}=c\)
\((4\sqrt{2}){x}=8\)Что связывает \(4\sqrt{2}\) и \(8\)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки: \(4=2{2}\)         \(\sqrt{2}=2{\frac{1}{2}}\)         \(8=2{3}\)
\({(2{2}\cdot2{\frac{1}{2}})}{x}=2{3}\)Слева воспользуемся свойствами степени: \(a{m}\cdot a{n}=a{m+n}\) и \((a{m}){n}=a{m\cdot n}\)
\(2{\frac{5}{2}x}=2{3}\)Основания равны, переходим к равенству показателей
\(\frac{5x}{2}\)\(=3\)Умножим обе части уравнения на \(\frac{2}{5}\)
\(x=1,2\)Получившийся корень и есть значение логарифма

Ответ: \(\log_{4\sqrt{2}}{8}=1,2\)

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: \(3{x}=9\). Просто подберите \(x\), чтобы равенство сработало. Конечно, \(x=2\).

А теперь решите уравнение: \(3{x}=8\).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как \(x=\log_{3}{8}\).

Хочу подчеркнуть, что \(\log_{3}{8}\), как и любой логарифм – это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: \(1,892789260714…..\)

Пример: Решите уравнение \(4{5x-4}=10\)

Решение:

\(4{5x-4}=10\)\(4{5x-4}\) и \(10\) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.Воспользуемся определением логарифма: \(a{b}=c\)       \(\Leftrightarrow\)       \(\log_{a}{c}=b\)
\(\log_{4}{10}=5x-4\)Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева
\(5x-4=\log_{4}{10}\)Перед нами линейное уравнение. Перенесем \(4\) вправо.И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу. 
\(5x=\log_{4}{10}+4\)Поделим уравнение на 5
\(x=\)\(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Ответ: \(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, aeq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание – число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln{a}\).

То есть, \(\ln{a}\) это то же самое, что и \(\log_{e}{a}\), где \(a\) – некоторое число.

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg{a}\)

То есть, \(\lg{a}\) это то же самое, что и \(\log_{10}{a}\), где \(a\) – некоторое число.

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

если     \(a{b}=c\),    то   \(\log_{a}{c}=b\)

То есть, \(b\) – это тоже самое, что \(\log_{a}{c}\). Тогда мы можем в формуле \(a{b}=c\) написать \(\log_{a}{c}\) вместо \(b\). Получилось \(a{\log_{a}{c}}=c\) – основное логарифмическое тождество.

Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь. С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.

Пример: Найдите значение выражения \(36{\log_{6}{5}}\)

Решение:

\(36{\log_{6}{5}}=\)Сразу пользоваться свойством \(a{\log_{a}{c}}=c\) мы не можем, так как в основании степени и в основании логарифма – разные числа. Однако мы знаем, что \(36=6{2}\)
\(=(6{2}){\log_{6}{5}}=\)Зная формулу \((a{m}){n}=a{m\cdot n}\), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение
\(=6{2\cdot\log_{6}{5}}=6{log_{6}{5}\cdot2}=(6{log_{6}{5}}){2}=\)Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.
\(=5{2}=25\)Ответ готов.

Ответ: \(25\)

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_{2}{4}\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_{2}{4}\). 

Но \(\log_{3}{9}\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_{3}{9}\)  . Аналогично и с \(\log_{5}{25}\), и с \(\log_{9}{81}\), и т.д. То есть, получается  

\(2=\log_{2}{4}=\log_{3}{9}=\log_{4}{16}=\log_{5}{25}=\log_{6}{36}=\log_{7}{49}…\)

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_{2}{8}\), или как \(\log_{3}{27}\), или как \(\log_{4}{64}\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

\(3=\log_{2}{8}=\log_{3}{27}=\log_{4}{64}=\log_{5}{125}=\log_{6}{216}=\log_{7}{343}…\)

И с четверкой:

\(4=\log_{2}{16}=\log_{3}{81}=\log_{4}{256}=\log_{5}{625}=\log_{6}{1296}=\log_{7}{2401}…\)

И с минус единицей:

\(-1=\) \(\log_{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(=\) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=\) \(\log_{4}\)\(\frac{1}{4}\)\(=\) \(\log_{5}\)\(\frac{1}{5}\)\(=\) \(\log_{6}\)\(\frac{1}{6}\)\(=\) \(\log_{7}\)\(\frac{1}{7}\)\(…\)

И с одной третьей:

\(\frac{1}{3}\)\(=\log_{2}{\sqrt[3]{2}}=\log_{3}{\sqrt[3]{3}}=\log_{4}{\sqrt[3]{4}}=\log_{5}{\sqrt[3]{5}}=\log_{6}{\sqrt[3]{6}}=\log_{7}{\sqrt[3]{7}}…\)

И так далее.

Любое число \(a\) может быть представлено как логарифм с основанием \(b\):       \(a=\log_{b}{b{a}}\)

Пример: Найдите значение выражения \(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)

Решение:

\(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)\(=\)Превращаем единицу в логарифм с основанием \(2\): \(1=\log_{2}{2}\)
\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{2}+\log_{2}{7}}\)\(=\)Теперь пользуемся свойством логарифмов: \(\log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_{a}{(bc)}\)
\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{(2\cdot7)}}\)\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{14}}\)\(=\)В числителе и знаменателе одинаковые числа – их можно сократить.
\(=1\)Ответ готов.

Ответ: \(1\)

Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства

Источник: http://cos-cos.ru/math/75/

Натуральный логарифм числа

Чему равно ln. Что такое логарифм

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e (математическая константа, приблизительно равная числу 2.718281828459…).

Определение натурального логарифма

Когда e y = x,

Натуральный логарифм (ln) числа x выглядит следующим образом:
ln(x) = loge(x) = y

Связь с экспоненциальной функцией

Функция логарифма ln(x) является обратной к экспоненциальной функции ex.

Для х > 0,

f (f -1(x)) = eln(x) = x

или

f -1(f (x)) = ln(ex) = x

Свойства натурального логарифма

Свойств Формула Пример
Логарифм умноженияln(x ∙ y) = ln(x) + ln(y) ln(3 ∙ 7) = ln(3) + ln(7)
Логарифм деленияln(x / y) = ln(x) – ln(y) ln(3 / 7) = ln(3) – ln(7)
Логарифм степениln(x y) = y ∙ ln(x) ln(28) = 8∙ ln(2)
Логарифм корня
Производная логарифмаf (x) = ln(x)⇒ f ' (x) = 1 / x
Интеграл логарифма∫ ln(x)dx = x ∙ (ln(x) – 1) + C
Логарифм отрицательного числаln(x) не определен, если x ≤ 0
Логарифм числа 0ln(0) не определен
Логарифм числа 1ln(1) = 0
Логарифм комплексного числаlog z = ln(r) + i(θ+2nπ) = ln(√(x2+y2)) + i·arctan(y/x)),для комплексного числа z = reiθ = x + iy
Логарифм бесконечностиlim ln(x) = ∞, если x→∞
Тождество Эйлераln(-1) = iπ

microexcel.ru

Таблица натуральных логарифмов

xln x
0 не определен
0+ – ∞
0.0001 -9.210340
0.001 -6.907755
0.01 -4.605170
0.1 -2.302585
1 0
2 0.693147
e ≈ 2.7183 1
3 1.098612
4 1.386294
5 1.609438
6 1.791759
7 1.945910
8 2.079442
9 2.197225
10 2.302585
20 2.995732
30 3.401197
40 3.688879
50 3.912023
60 4.094345
70 4.248495
80 4.382027
90 4.499810
100 4.605170
200 5.298317
300 5.703782
400 5.991465
500 6.214608
600 6.396930
700 6.551080
800 6.684612
900 6.802395
1000 6.907755
10000 9.210340

microexcel.ru

График натурального логарифма

Функция натурального логарифма задается как y = ln x. Существует только при неотрицательных значениях переменной x. График выглядит так:

“Функция логарифма в Excel: формула расчета”

(1 5,00 из 5)
Загрузка…

MicroExcel.ru

div:eq(1) > h2:eq(0) data-code=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 data-block=10>

div:eq(1) > h2:eq(1) data-code=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 data-block=11>

div:eq(1) > h2:eq(2) data-code=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 data-block=12>

div:eq(1) > h2:eq(0) data-code=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 data-block=15>

div:eq(1) > h2:eq(1) data-code=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 data-block=16>

div:eq(1) > h2:eq(2) data-code=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 data-block=17>

div:eq(1) > h2:eq(2) data-code=PGRpdiBjbGFzcz0nY29kZS1ibG9jayBjb2RlLWJsb2NrLTI1JyBzdHlsZT0nbWFyZ2luOiA4cHggMDsgY2xlYXI6IGJvdGg7Jz4KPGRpdiBjbGFzcz0ianMtcmVsYXAtYW5jaG9yIiBkYXRhLXJlbGFwLWlkPSJvZUxpQ3N3TlNyRkxQejhfIj48L2Rpdj48L2Rpdj4K data-block=25>

Источник: https://MicroExcel.ru/naturalny-logarifm/

Натуральный логарифм и число е

Чему равно ln. Что такое логарифм

Прежде чем познакомится с понятием натурального логарифма, рассмотрим понятие постоянного числа $е$.

Число $e$

Определение 1

Число $e$ – это математическое постоянное, которое является трансцендентным числом и равно $e \approx 2,718281828459045\ldots$.

Определение 2

Трансцендентным называется число, которое не является корнем полинома с целыми коэффициентами.

Определение 3

Число $e$ является пределом выражения $(1+\frac{1}{k})k$ при $k$, которое стремится к бесконечности:

$e = \lim_{k \to \infty} \left(1 + \frac{1}{k} \right)k$

Замечание 1

Последней формулой описывается второй замечательный предел.

Число е также носит название числа Эйлера, а иногда и числа Непера.

Замечание 2

Чтобы запомнить первые знаки числа $е$ зачастую пользуются следующим выражением: «$2$, $7$, дважды Лев Толстой». Конечно же, для того, чтобы можно было его использовать, необходимо помнить, что Лев Толстой родился в $1828$ г. Именно эти числа дважды повторяются в значении числа $е$ после целой части $2$ и десятичной $7$.

  • Курсовая работа 440 руб.
  • Реферат 230 руб.
  • Контрольная работа 220 руб.

Рассмотрение понятия числа $е$ при изучении натурального логарифма мы начали именно потому, что оно стоит в основании логарифма $\log_{e}⁡a$, который принято называть натуральным и записывать в виде $\ln ⁡a$.

Натуральный логарифм

Часто при расчетах используют логарифмы, в основании которых стоит число $е$.

Определение 4

Логарифм с основанием $е$ называют натуральным.

Т.е. натуральный логарифм можно обозначить как $\log_{e}⁡a$, но в математике принято использовать обозначение $\ln ⁡a$.

Свойства натурального логарифма

  1. Т.к. логарифм по любому основанию от единицы равен $0$, то и натуральный логарифм единицы равен $0$:

    $\ln ⁡1=0$.

  2. Натуральный логарифм от числа $е$ равен единице:

    $\ln ⁡e=1$.

  3. Натуральный логарифм произведения двух чисел равен сумме натуральных логарифмов от этих чисел:

    $\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

  4. Натуральный логарифм частного двух чисел равен разнице натуральных логарифмов этих чисел:

    $\ln⁡\frac{a}{b}=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

  5. Натуральный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на натуральный логарифм подлогарифмического числа:

    $\ln⁡ as=s \cdot \ln⁡ a$.

Пример 1

Упростить выражение $\frac{2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16}{\ln ⁡5e-\frac{1}{2} \ln ⁡25}$.

Решение.

Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:

$\frac{2 \ln ⁡4e-\ln⁡16}{\ln ⁡5e-\frac{1}{2} \ln ⁡25}=\frac{2(\ln ⁡4+\ln ⁡e )-\ln⁡ 42}{\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac{1}{2} \ln⁡ 52}=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые, а также применим свойство $\ln ⁡e=1$:

$=\frac{2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4}{\ln ⁡5+1-\frac{1}{2} \cdot 2 \ln ⁡5}=\frac{2}{\ln ⁡5+1-\ln ⁡5}=2$.

Ответ: $\frac{2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16}{\ln ⁡5e-\frac{1}{2} \ln ⁡25}=2$.

Пример 2

Найти значение выражения $\ln⁡ 2e2+\ln \frac{1}{2e}$.

Решение.

Применим формулу суммы логарифмов:

$\ln 2e2+\ln \frac{1}{2e}=\ln 2e2 \cdot \frac{1}{2e}=\ln ⁡e=1$.

Ответ: $\ln 2e2+\ln \frac{1}{2e}=1$.

Пример 3

Вычислить значение логарифмического выражения $2 \lg ⁡0,1+3 \ln⁡ e5$.

Решение.

Применим свойство логарифма степени:

$2 \lg ⁡0,1+3 \ln e5=2 \lg 10{-1}+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+15=13$.

Ответ: $2 \lg ⁡0,1+3 \ln e5=13$.

Пример 4

Упростить логарифмическое выражение $\ln \frac{1}{8}-3 \ln ⁡4$.

Решение.

Применим свойство логарифма степени:

$\ln \frac{1}{8}-3 \ln ⁡4=\ln 2{-3}-3 \ln 22=-3 \ln⁡2-3 \cdot 2 \ln ⁡2=-9 \ln ⁡2$.

Ответ: $\ln \frac{1}{8}-3 \ln ⁡4=-9 \ln ⁡2$.

Пример 5

Упростить логарифмическое выражение $\ln \frac{e4}{25}$.

Решение.

Применим свойство логарифма частного:

$\ln⁡ \frac{e4}{25}=\ln e4-\ln ⁡25=$

во втором логарифме подлогарифмическое выражение запишем как число в степени:

$=\ln e4-\ln 52=$

применим свойство логарифма степени к первому и второму логарифму:

$=4 \ln ⁡e-2 \ln ⁡5=$

применив свойство $\ln ⁡e=1$, получим:

$=4-2 \ln ⁡5$.

Ответ: $\ln \frac{e4}{25}=4-2 \ln ⁡5$.

Пример 6

Вычислить значение логарифмического выражения $3 \ln \frac{9}{e2}-2 \ln ⁡27$.

Решение.

Применим к обоим логарифмам свойство логарифма степени:

$3 \ln \frac{9}{e2}-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac{3}{e})2-2 \ln 33=3 \cdot 2 \ln \frac{3}{e}-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac{3}{e}-6 \ln ⁡3=$

применим к первому логарифму свойство логарифма частного:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

Ответ: $3 \ln \frac{9}{e2}-2 \ln ⁡27=-6$.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/osnovnoe_logarifmicheskoe_tozhdestvo/naturalnyy_logarifm_i_chislo_e/

Что такое логарифм

Чему равно ln. Что такое логарифм

11 июля 2011

Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.

Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь — собственно, определение логарифма:

Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x.

Обозначение: loga x = b, где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.

Например, 23 = 8 ⇒ log2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 23 = 8). С тем же успехом log2 64 = 6, поскольку 26 = 64.

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

212223242526
248163264
log2 2 = 1log2 4 = 2log2 8 = 3log2 16 = 4log2 32 = 5log2 64 = 6

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 22 < 5 < 23, а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа. Взгляните сами:
log2 5 = 2,32192809…
log3 8 = 1,89278926…
log5 100 = 2,86135311…

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log2 5, log3 8, log5 100.

Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент.

Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным.

Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.

Как считать логарифмы

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

  1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
  2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: loga x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2−1.

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

  1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
  2. Решить относительно переменной b уравнение: x = ab;
  3. Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

Задача. Вычислите логарифм: log5 25

  1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 51; 25 = 52;
  2. Составим и решим уравнение:
    log5 25 = b ⇒ (51)b = 52 ⇒ 5b = 52 ⇒ b = 2;
  3. Получили ответ: 2.

Задача. Вычислите логарифм:

  1. Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 31; 1/81 = 81−1 = (34)−1 = 3−4;
  2. Составим и решим уравнение:
  3. Получили ответ: −4.

Задача. Вычислите логарифм: log4 64

  1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 22; 64 = 26;
  2. Составим и решим уравнение:
    log4 64 = b ⇒ (22)b = 26 ⇒ 22b = 26 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
  3. Получили ответ: 3.

Задача. Вычислите логарифм: log16 1

  1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 24; 1 = 20;
  2. Составим и решим уравнение:
    log16 1 = b ⇒ (24)b = 20 ⇒ 24b = 20 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
  3. Получили ответ: 0.

Задача. Вычислите логарифм: log7 14

  1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 71; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 71 < 14 < 72;
  2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
  3. Ответ — без изменений: log7 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.

Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 23 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 24 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 34 — точная степень;35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;

14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Десятичный логарифм

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

Десятичный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x. Обозначение: lg x.

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log10 x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

Натуральный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию e, т.е. степень, в которую надо возвести число e, чтобы получить число x. Обозначение: ln x.

Многие спросят: что еще за число e? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459…

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
ln x = loge x

Таким образом, ln e = 1; ln e2 = 2; ln e16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

Источник: https://www.berdov.com/docs/logarithm/what/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.